穿越地心，需要多久？ _小知识

我国著名科幻作家刘慈欣曾经写过一部小说叫《地球大炮》，其中的“南极庭院工程”在漠河与南极之间挖了一条贯穿地球的弯曲隧道。

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小说中还提到，如果从中国挖一条笔直的隧道，另一头的出口将是阿根廷。如果从这条笔直的隧道跳进去，需要花多长时间才能从另一头蹦出来呢？刘慈欣写道：
贝加纳来了兴趣：“……让我们看看：我跳进去后会一直加速，虽然我的加速度会随坠落深度的增加而减小，但确实会一直加速到地心，通过地心时我的速度达到最大值，加速度为零；然后开始减速上升，这种减速度的值会随着上升而不断增加，当到达地球的另一面阿根廷的地面时，我的速度正好为零。如果我想回中国，只需从那面再跳下去就行了，如果我愿意，可以在南北半球之间做永恒的简谐振动，嗯，妙极了，可是旅行时间……”
“让我们计算一下吧。 ”沈华北打开电脑。
计算结果很快出来了，以地球理想的平均密度，从中国跳进地球隧道，穿过直径一万两千多公里的地球，坠落到阿根廷，需42分钟12秒。
“快捷的旅行！”贝加纳高兴地说。
是的， 42分钟12秒，这是科学家过去一致认同的简单估计，也是每个物理学的学生都要做的习题。
不过最近，有一位较真的科学家经过更精确的计算，从这个42分钟里又减去了4分钟，把答案变成了38分钟。也就是说，只需要花38分钟，你就能从另一头的阿根廷跳出来，也就是北京到天津一趟动车的时间啊。这篇论文发表在3月的American Journal of Physics期刊上。
物理老师之所以喜欢让学生们做这个习题，是因为它既涉及牛顿万有引力，又涉及一种简单但重要的简谐运动。学生们需要计算，掉入隧道的物体所受到的引力如何随着下落高度而变化。
为了计算这个问题，我们先要做出一些不那么切合实际的假设。我们假设：地球像一个台球一样，密度是均匀分布的，每立方米大约5500千克。在这种前提下，当你跳进隧道时，你受到的引力与你距离地球中心的距离有关。这是因为，当你不断下落时，位于你脚下的地球物质在不断的减少，而位于你头顶上的物质对你则失去了影响力。这时，学生们使用的模型称作“壳层定理” 。

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扩展阅读：

壳层定理(Shell Theorem)是古典重力学上的理论，其可简化重力于对称球体内部和外部的贡献，并且在天文学上有特别的应用。壳层定理最先由牛顿在所推演出来，其阐明了：
1. 球对称物体对于球体外的重力贡献如同将球体质量集中于球心。
2. 在对称球体内部的物体不受其外部球壳的重力影响。
在这个模型里，由于你下落时受到的引力与你和地心的距离成比例，你会在这个隧道里来回穿梭，就像上下蹦跳的弹簧，也像来回晃动的钟摆。这个模型在教学中很好用，正是因为它是一个简单的简谐运动。

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但实际情况却并不是这样的。我们都知道，地球的密度并不是均匀分布。地壳和地幔的密度较低，而地心的密度较高。所以，加拿大麦吉尔大学的物理学研究生Alexander Klotz开始思考，能不能建立一个更加准确的模型呢？Klotz说，他也不知道自己是如何开始思考这个问题的，不过他经常在reddit网站上回答网友提出的一些物理学问题，也许就在灵光乍现的一瞬间，他决定要重新计算一下。