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N进制这么好玩，你知道吗？

小知识

【一个传统小游戏】

设计四张卡片：
第一张写有  1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15
第二张写有  2， 3， 6， 7， 10， 11， 14， 15
第三张写有  4， 5， 6， 7， 12， 13， 14， 15
第四张写有  8， 9， 10， 11， 12， 13， 14， 15
某甲心里想一个0-15间的整数， 告诉你此数共在哪些卡片里有 。 你将这些卡片的第一个数加起来， 就得到某甲心里想的那个数 。
这个游戏很多人见过， 但未必都知道其背后的数学道理就是二进制 。 解释如下：
第一张卡片中是0-15间所有二进制表示为xxx1的数， 而其第一个数是0001 。 第二张卡片中是0-15间所有二进制表示为xx1x的数， 而其第一个数是0010 。 后两张类推 。
例如， 某甲心里想的数是13， 这个数的二进制表示是1101， 因此它在第一、三、四张卡片里有， 而且正等于0001 + 0100 + 1000 。
【几个IT相关的二进制问题】
1.在美国的公司刚刚工作不久的一天， 一位计算机专业的小伙子跑来找我， 说他新装的VB6是有BUG的， 让我看看 。 他的即时窗口里显示： 3.0 – 2.99 = 0.00999999999999979 。
我告诉他有一个文件叫IEEE754， 可以解惑， 他坚持让我说 。 于是我告诉他：double 数型有64个二进制位， 其中第1位是表示正负符号的， 第2至12位是表示带偏移的指数的， 后52位是表示“小数”的 。 2.99无法用二进制精确表示， 所以才造成他看到的结果 。 这是 double 与生俱来的， 不是VB6的BUG 。
2.不久， 公司一位波兰女孩找我， 说公司让她编的“四舍五入”函数会出现工作异常 。
我看了代码， 发现她所写的round( r, n ) 函数， 基本上等于是 floor( r*10^n + 0.5 ) / 10^n 。 这代码里也有double之二进制存储产生的问题 。
例如， round(1.005, 2)=1.01 。 但是， 1.005不能用double精确表示， 它的表示约为1.0049999999999998 。 因此， 以上代码计算的“r*10^2 + 0.5”约等于100.999999999998， 取整后为100 。 结果， 其代码给出的答案是1.00， 错了 。
3.在做偏微分方程的迭代求解时， 我发现迭代N次后的结果在debug模式与release模式下不一致 。 仔细分析代码， 发现类似1.0 + 0.25*DBL_EPSILON + 0.25*DBL_EPSILON 的计算式， 在两种模式之下的计算结果分别为1.0与1.0+DBL_EPSILON 。 原因在于后一种模式默认某种“优化”计算……不细说 。
还有其他问题， 很多都牵涉到double在计算机内部的二进制表示 。 了解IEE754的规定， 才能够找到问题所在以及解决办法 。 这个知识点对IT高手不是问题， 但相对入门级的新手很有用 。
【用三进制证明( 0, 1 )中的实数不可数】
首先， 把( 0, 1 )中的实数用三进制表示；其次， 用反证法， 假设( 0, 1 )中的实数是可数个 。
由于是可数个数， 因此可以将所有这些数写成数列x(n) 。
构造一个三进制小数y：其第一位小数取数与x(1)的第一位不同， 且不取2；从第二位小数开始， 第n位取不同于x(n)的第n位， 且与y已经取得的前一位不同——例如， 设x(10)为2， y 的第9位已经取0， 则y 的第10位取1 。
不难证明， 此y是( 0, 1 )中的实数， 且不等于数列x(n)中的任何一个 。 也就是说， 数列x(n)不可能包括全部( 0, 1 )中的实数 。
这证明， ( 0, 1 )中的实数是不可数个， 也就是说：不可能把( 0, 1 )中的实数一一对应到自然数集上 。
【康威十三进制数】
文不对题一下， 我们只考虑使用十一进制， 康威十三进制数留给好奇者去探索 。
用A记10， 用十一进制表示所有( 0, 1 )中的实数 。
在所有这些十一进制表示的( 0, 1 )中的实数里， 考虑A仅出现有限次的那些数 。 对一个这种数x， 去掉其最后出现的A之前的所有数字， 把A改成“0.”， 则得到一个新的小数y 。 把y解读为十进制小数， 则我们构造了一个从( 0, 1 )到( 0, 1 )的映射 。

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