投影后面的数学，你了解多少？( 二 ) _小知识

事实上，我们知道下面的经典结论：
任何空间曲线都可以经由过程合适的投影映当作平面上仅带有有限多个结点的曲线，并且这个投影在结点之外是1:1的。

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经由过程上述投影，我们就能将三维空间中的曲线的大部门几何信息都保留下来。研究二维平面上的结点曲线显然要比研究空间曲线轻易得多，因为平面曲线可以用一个方程描述出来（作者注：严酷地讲，这里的曲线要求是代数曲线——就是可以经由过程多项式方程组界说出来的曲线），是以可以用我们熟知的平面解析几何的方式去研究它。好比说，任何一条曲线都带有一个决议其几何性状的数值量，叫做“亏格”——就比如某种基因。你要直接计较空间曲线的亏格一般比力麻烦。可是经由过程投影之后，空间曲线的亏格计较可以被归结到平面结点曲线的亏格计较，后者是很轻易的。
进一步想象一下，假如一条曲线落在更高维度的空间中，我们是否也可以将它投影到平面中呢？谜底是必定的。我们可以用数学上的手段，先将曲线经由过程投影压缩到三维空间中，并且我们还能包管在这种投影下，曲线的全数信息都被忠厚地保留下来（改变的仅仅是布景空间的维度）。这样，我们的问题又再一次归结到三维空间曲线的投影上。无论若何，正如上面所指出的，在把三维空间压缩到二维空间的过程中，我们凡是无法确保曲线不被挤压出结点。
触类旁通：高维几何物体的投影
我们此刻要把上一节的会商推广到更高维度的空间中去。这当然需要一些想象力。因为高维空间自己是很难像三维空间那样被直不雅、清楚地舆解的。你甚至可能会有疑问：是否真的有高维空间存在？这一点倒不必有疑问，其实有良多主要的几何对象都存在于高维空间中。我们先举几个经典的直不雅例子来申明一下。
例一、最闻名的例子是克莱因瓶。它是一个没有鸿沟、且只有一个面的曲面。

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这个瓶子的瓶颈直接插入到瓶胆内，而且与瓶底的启齿毗连起来。上面的照片显示的是克莱因瓶的三维模子，并不是真正的克莱因瓶。因为真正的克莱因瓶的瓶颈并不会插破瓶壁进入瓶胆内，而是直接穿越进去。这一点显然无法在三维空间中实现出来—你必需在瓶壁上凿出一个洞才能把瓶颈塞进去。现实上，克莱因瓶必需放在四维空间中才能被准确地机关出来。
例二、下面三张图显示的曲面看似是两个圆盘，但它们却彼此穿越对方完美毗连起来。

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在三维空间中，让两个圆盘互相穿越对方必然会导致曲面分裂，所以这个曲面现实上也不成能在三维空间中存在，上面的图像仅仅是它在三维空间中的模拟图像。可以用数学方式证实，这种曲面存在于四维空间中，它的完整图形和球面在拓扑意义上是一样的（粗拙地说，就是你对这个曲面充气，它可以鼓当作一个“气球”）。

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近似的曲面还有良多，好比下图的曲面是三个圆盘彼此毗连起来。

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这些曲面在三维空间中的模子现实上是它们从四维空间投影到三维空间获得的。这需要一些想象力。你得想象在四维空间中放一个电灯胆，然后光线把四维空间中的曲面投影到一面三维的“墙”上，那么它的影像就是我们看到的三维模子。这些模子老是会呈现一部门很奇异的“穿越裂缝” 。好比克莱因瓶在三维模子中有一个被凿破的“洞”供瓶颈“穿越”进内胆—这个洞在四维空间中并不存在；其实例二中的两个圆盘彼此穿越的那条交壤线在四维空间中也不存在。为什么会呈现这种现象呢？直不雅上说，这是因为投影将四维空间压缩到三维空间后，会把曲面压坏失落。这就有点像是你把大房子酿成了斗室子，那么房子里的家具等等可能就容不下了，只能彼此挤压，以至于压坏失落了一部门。