投影后面的数学，你了解多少？ _小知识

金庸小说《天龙八部》里有这样一段情节：逍遥派的李秋水夜晚舞剑。月光经由过程湖面反射，将她的剑影投射到无量山石壁上。无量派掌门看到后，误觉得是仙女舞剑，试图从中贯通信息不全的剑法。这个有趣的情节涉及到一个几何概念：投影。本文的本家儿要目标就是以尽可能直不雅的体例标的目的读者介绍有关投影的数学。

文章插图

图片来历于收集
摄影与手电影：三维到二维的投影例子
良多人小时辰都玩过手电影，就是把手放在灯胆前，投射到墙上的影子会跟着你的手势转变发生各类有趣的图案。

文章插图

你的手是三维空间中的物体，影子是二维空间（即墙面）上的几何物体。是以手电影的素质，从几何角度说，半斤八两于是将三维空间中的几何物体投影到二维平面中的几何物体。与此近似的，还有拍摄照片。现实上，照片也无非是将三维空间中的物体投射到平面（即相片）上。
将三维空间中的物体投影到平面上，往往会损掉失落良多信息。好比在上述的手电影中，若是你仅仅看墙上的影子，现实上是很难切当地判定出那是由一只手仍是两只手投影出来的，或者是否真的由人的手投影出来（也可能是其他物件投影获得）。这就申明投影会损掉失落原始物体的良多几何信息。我们前面提到的《天龙八部》情节也是如斯，逍遥派的一流剑法投影到石壁上损掉了良多信息，所以无量派掌门只能贯通到信息不全的剑法。

文章插图

近似地，有一些操纵视觉技巧拍摄的照片，让你无法准确判定相片中两个物体的大小关系或前后关系等等。其实背后的事理是不异的。
尽管投影会损掉失落部门信息，但另一方面，它也可能保留下良多主要的信息。何况研究二维图像显然要比研究三维图像简单良多。是以良多时辰，为了降低研究的难度或复杂度，我们经常采纳投影的方式来降低布景空间的维度，把几何物体压缩到更低维度的空间里来加以阐发。这也是为什么我们需要研究投影的一个原因。
空间曲线的投影
想象一下：你有一根滑腻的绳索，你要经由过程一个电灯胆将它投影到地面上，那么地面上的影子会是滑腻的吗？谜底凡是是否认的。不单如斯，绳索的影子有时甚至会呈现良多复杂的“结”（几何上叫做“奇点”）。好比下面两张图所显示的例子( o是电灯胆地点的位置，虚线暗示投影的光线):

文章插图

上面左图中,R的投影点R’是一个奇点–凡是称之为“尖点” 。最简单的尖点可以用方程x2+ y3= 0 来局部地描画，凡是叫做“通俗尖点” 。右图中P1,P2 的投影点P’也是奇点，它局部看有点像十字架，我们凡是把它称作“结点” ，可以用方程x2– y2= 0 来局部地描画。当然，我们还可以举出更复杂的投影图像的例子。限于篇幅，这里就不再具体介绍了。
在对一条曲线进行投影时，我们老是但愿影像曲线尽可能地接近原始曲线,这样做可以或许尽量保留住原始曲线的几何信息。最抱负的环境当然是：影子也是滑腻的。但正如前面所说，这一般是做不到的。三维空间到二维空间的压缩凡是会将曲线挤压出奇点。是以我们退而求其次，许可影像曲线上呈现一些奇点，但这些奇点要尽可能简单。别的我们还但愿这个投影几乎是1:1的，也就是说，绳索和影像上除去若干点外，两者之间的点要一一对应。