投影后面的数学，你了解多少？( 四 ) _小知识

对平面上的一般点（好比图中P’点）而言，它都曲直面上的两个点（好比P1和P2）投影下来获得的影像。是以这个投影也称为二次投影。不外并非所有的影像点都知足这个性质。好比图中直线R’每个Q’点，它只由曲面上独一的点Q 投影获得。我们凡是把这种点称作“不合点” ，而把不合点的调集 R’称作“不合轨迹” 。
近似的二次投影还有

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此中的不合轨迹是两条订交的直线。
例六、三次投影

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和二次投影近似，对平面上一般的点而言，都是由曲面上三个点投影下来获得的影像。但有些点却并非如斯。好比图中Q’ 点是由两个点Q1 和Q2 投影获得，此中在 Q1四周，这个曲面的局部投影是1:1 的；在 Q2四周，曲面的局部投影是二次投影。 T’ 点则由独一的点 T投影获得。这些点同样叫做不合点，它们全体构成的调集叫做不合轨迹。这条不合轨迹是一条平面曲线，带有尖点T’ 。
一个经典的结论告诉我们：
若是我们将电灯胆放在适合的位置上，那么曲面到平面的投影可以节制得很好。具体地讲，在这样的投影下，曲面上每个点四周的局部投影要么是到1:1 的，要么是二次投影（例五），要么是三次投影（例六）。

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是以不合轨迹是一条很特别的平面曲线，它可能有一些奇点，但这些奇点要么是结点要么是尖点（见第三节会商）。这种投影凡是叫做一般投影。
曲面一般投影的性质
我们继续上面的话题。考虑曲面到平面的一般投影。此时不合轨迹的奇点只有尖点（cusp）和结点（node），其他部门当然都是滑腻的—就是说摸上去很滑顺，没有锋利的部门。

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一个有趣的问题是：
什么样的平面曲线才能作为某个曲面的一般投影的不合轨迹？
这现实上是一个很坚苦的数学问题，它被称作黎曼的存在性问题。有许很多大都学家曾经考虑过这个问题，而且在一些环境下获得了良多标致的结论。好比，假设不合轨迹有 c个尖点， n 个结点, 而且是 d次的（即由 d次方程界说），人们发现如下结论：
（1）c 必是3的倍数， n 必是4的倍数；
（2）d2-6c ≤ 2n＜d2-5d+8
黎曼存在性问题在曲线景象也有描述，而且已经有了比力完美的解答。
另一个有趣的问题是：
是否可能存在两个分歧的曲面到平面的一般投影，它们具有不异的不合轨迹？
这个问题叫做Chisini猜想，由Kulikov于2008年彻底解决了。他的结论是：除了几个特别的例子之外，一般投影由不合轨迹独一确定；换言之，除了那几个特破例，不成能存在两个分歧的一般投影，它们具有不异不合轨迹。
这是一个很有价值的结论。因为这意味着，曲面投影的几何信息可以或许由平面上的一条曲线的几何信息完全确定下来（作者注：平面中挖失落这条曲线后所剩下的部门，包含了良多主要的几何信息）。一般说来，研究曲线要比直接研究曲面便利得多。由此也可见投影的用处是很大的。
竣事语
这篇文章的素材改编自笔者的数学系青年教师论坛演讲稿。当初写这一讲稿的目标是为了让其他专业的教员也可以或许轻松领会代数几何的部门课题，为此特意插手了良多图片来帮忙他们理解。可是要以通俗的体例介绍代数几何始终是很坚苦的。为了追求某种通俗性，我们不得不抛却某些严酷性以及若干手艺性的细节。好比我们会商的对象是复数域上的代数簇，可是这些名词术语会让大大都人望而却步，所以我们在文章中尽可能避免这类术语，而把它们笼统地称为“曲线”、“曲面”或“高维的几何物体”等等。最后笔者要申明一下，文中的一些图片直接取自于百度图片库，另一些则是笔者本身画的。