皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： Ⅰ 0是自然数； Ⅱ 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1） 。例如，1'=2，2'=3等等 。） 可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统 。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0 。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数 。因此，我们要对自然数结构再做一下限制： Ⅲ 0不是任何自然数的后继数； 但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3 。看来，我们设置的公理还不够严密 。我们还得再加一条 。Ⅳ如果b、c的后继数都是自然数a，那么b = c； 最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理 。Ⅴ 设S?N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S 。则S是全体自然数的集合，即S=N 。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性) 注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件 。
若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数 。
文章插图
【皮亚诺公理的定义】
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