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正弦定理的证明,钝角三角形怎么证明正弦定理？

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正弦定理的证明,钝角三角形怎么证明正弦定理？

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【正弦定理的证明,钝角三角形怎么证明正弦定理？】2正弦定理的证明、∵∠EBC=90°，(直径所对的圆周角为直角)∴a/EC=sin∠1，可得a/sin∠1=EC=2R，3、∵A=∠1，(同弧所对的圆周角相等)∴a/sinA=2R.同理可得c/sinC=2R.4、∵∠ACD=90°，(直径所对的圆周角为直角)∴b/AD=sin∠2，可得b/sin∠2=AD=2R，5、∵A、B、C、D四点共圆，∴B ∠2=180°，可得∠2=180°-B，sin∠2=sin(180°-B)=sinB，∴b/sinB=2R.6、综上所述，a/sinA=b/sinB=c/sinC.扩展资料：历史上，正弦定理的几何推导方法丰富多彩 。根据其思路特征，主要可以分为两种 。第一种方法可以称为 “同径法 ”，最早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯所采用 。“同径法 ”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线，利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比 。纳绥尔丁同时延长两个内角的对边，构造半径同时大于两边的圆 。雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化，只延长两边中的较短边，构造半径等于较长边的圆 。17~18世纪，中国数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了“同径法” 。18世纪初，“同径法”又演化为“直角三角形法”，这种方法不需要选择并作出圆的半径，只需要作出三角形的高线，利用直角三角形的边角关系，即可得出正弦定理 。19世纪，英国数学家伍德豪斯开始统一取R=1，相当于用比值来表示三角函数，得到今天普遍采用的 “作高法” 。第二种方法为“外接圆法”，最早为16世纪法国数学家韦达所采用 。韦达没有讨论钝角三角形的情形，后世数学家对此作了补充 。
方法1、直接过三角形一顶点如C作对边AB的垂线（设垂线长为h),则sinA=h/b,sinB=h/a,所以，sinA/a=sinB/b，同理可得sinC/c=sinB/b,因此a/sinA=b/sinB=c/sinC
方法2、利用三角形面积公式：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB,整理即得：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
方法3：作三角形的外接圆，过B作边BC的垂线交圆于D，连接CD,因圆周角为直角，则CD长为直径（不妨直径长度设为d) 。
因圆周角相等，即角D=角A，
所以sinA=sinD=BC/CD=a/d,同理可证sinB=b/d,sinC=c/d.所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC
如图举例
已知三角形ABC是钝角三角形求证：
AC/sinB=BC/xinA=AB/sinC=2R(R是三角形ABC外接圆的半径）
证明：
连接AD因为DC是圆O的直径（半径为R)所以角DAC=90度所以三角形DAC是直角三角形所以sin角ADC=AC/DC=AC/2R因为角B=角ADC所以AC/sinB=2R
同理可证：
AB/sinC=BC/sinA=2R所以正弦定理：BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC=2R
扩展资料：
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D 。则有：

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