为了玩好音乐徒手开12次方根，古人的音律、数学强到什么地步？

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1990年，黄霑受邀为徐克的片子《笑傲江湖》谱曲，前前后后写了6稿徐克都不对劲。 “走投无路”的黄霑从古乐中获得灵感，用中国传统五声音阶宫、商、角、徵（zhǐ）、羽写出《沧海一声笑》的根本旋律。
徐克一听击节称赏，一首经典“神曲”就此被传布开来。然而中国古音的汗青与当作就可不止“宫商角徵羽”这么简单，细算起来，就算是影响了整个西方古典音乐史的巴赫也曾深受中国传统乐律的开导。

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●《笑傲江湖》经典片段
乐律，是数学与艺术慎密连系的产品。不管是古代乐律的五声音阶，仍是现代通用的十二平均律，无一不是颠末详尽数学计较的产品。而中国在乐律成长史上的步步领先，也表现了我们平易近族在数理上的过人之处。
中国古代乐律的发源，要追溯到一位人尽皆知的汗青人物——春秋期间的管仲。

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●被誉为“华夏第一相”的管仲
【为了玩好音乐徒手开12次方根，古人的音律、数学强到什么地步？】古籍《管子·地员篇》中记录了宿世界音乐史上最早的一种求律方式，史称“三分损益法” 。原文是这样写的：
凡将起五音凡首，先本家儿一而三之，四开以合九九，所以黄钟小素之首，以在宫；三分而益之以一，以百有八，为徵；不无有三分而去其乘，适足所以生商；有三分而复于其所，所以当作羽；有三分而去其乘，所以当作角。
翻译过来的大意就是：想要求出五音，起首应该找出一个尺度音，即“黄钟” ，也就是“宫”音。这个音被“三分四开以合九九” ，那可以假定其对应的弦长比数为81 。
接着将宫音的长度增添三分之一，算出低四度的“徵”音，那么“徵”就是81+81/3=108；再将徵音的长度减去三分之一，可得出徵的高五度音“商” ，为108/3*2=72；把商音的长度增添三分之一，可得它的低四度音“羽” ，为72+72/3=96；最后把羽音减去三分之一，可得弦长比数为64的“角”音。

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● 由三分损益法得出的五音
这种五声音阶法在中国古代音乐中被称为“正声” ，是古今中国平易近间音乐最为常见的音阶形式。事实上，由此推算出来的“宫商角徵羽”对应现代乐律就是“do、re、mi、sol、la” 。
大师会发现“fa”跟“si”这两个现代乐律不见了，但其实按照管仲的“三分损益法” ，完全可以继续计较细分下去。加上“fa、si”的七声音阶甚至是十二律都可以用这个方式往下演算出来。
而本家儿要的问题在于，这个公式算出来的五声音阶尽管悦耳悦耳，可是相邻音阶之间的频率之比倒是不固定的。按照上面宫商角徵羽的数值比例计较，大部门音阶之比是1.125 ，而中心总会有一个比是1.185轮回……
所以“三分损益法”可以求出“十二律” ，在《吕氏春秋·乐律》篇中也确实记录了从“黄钟”、“大吕”到“无射”、“应钟”的完整十二律，但这倒是不服均的十二律。