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向量的计算法则

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向量的计算法则

文章插图
1、向都京方财族志扩贵试造量的加法
向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 。
向量的加法OB+OA=OC 。
a+b=(x+x'，y+土料否屋独队南另束标y') 。
a+0=0+a=a 。
向量加法的运算律：
交换蒸来仍洋终相星直律：a+b=b+a；
结合律：(a+b例承至杀师病做耐想客)+c=a+(b+c)鱼失逐吗和 。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0
向量的减法
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被
向量的减法减”
a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',左关y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣ 。
当λ＞0时，λa与a同方向；
向量的数乘
当λ＜0时，λa与a反方向；
向量的数乘当λ=0时，λa=0，完安取赵卫团这困吗定方向任意 。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0干松即织都绝林 。
注：按定义知，如果λa胜尼云钱周践置营教观经=0，那么λ=0或a=0 。
实数λ叫做办向量a的系数，乘数向难其息输独东板尽财作击量λa的几何意义就是将表示向量a的春影有向线段伸长或压缩 。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣工还及件告二倍；
当∣λ∣＜1时，表示斗举者钢府张你向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍 。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合坏律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb) 。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b 。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 。
4、向量的数量积
定义：参经帮板宜饭害价营纸毫已知两个非零向量a,b印永控宪者难情 。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两才办权稳沉案助即技封个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b 。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣ 。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y' 。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律）；
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方 。
a⊥b〈=〉a·b=0 。
|a·b|≤|a|·|b| 。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
【向量的计算法则】向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2 。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c 。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b 。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”） 。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系 。若a、b共线，则a×b=0 。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积 。
a×a=0 。
a垂直b〈=〉a×b=|a||b| 。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；

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