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微分方程通解,什么是微分方程的通解和特解？

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【微分方程通解,什么是微分方程的通解和特解？】y” py’ qy=0，等式右边为零，为二阶常系数齐次线性方程；y” py’ qy=f（x），等式右边为一个函数式，为二阶常系数非齐次线性方程 。可见，后一个方程可以看为前一个方程添加了一个约束条件 。对于第一个微分方程，目标为求出y的表达式 。求解过程在课本中分门别类写得很清楚，由此得到的解，称为【通解】，通解代表着这是解的集合 。我们中学就知道，M个变量，需要M个个约束条件才能全部解出 。例如，解三元一次方程组，需要三个方程 。由此，在变量相同的条件下，多一个约束条件f（y），就可以多确定一个解，此解就称为【特解】 。你在做题时就会知道，想要结果越精确，约束条件就要越充分 。在《信号与系统》或《通信原理》等课程中，你会对y”微分方程通解、y’有更直观的认识，多一次导，意味着多一次延时 。

微分方程通解,什么是微分方程的通解和特解？

文章插图
解：∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)3
==>(x-2)dy=[y 2*(x-2)3]dx
==>(x-2)dy-ydx=2*(x-2)3dx
==>[(x-2)dy-ydx]/(x-2)2=2*(x-2)dx
==>d[y/(x-2)]=d[(x-2)2]
==>y/(x-2)=(x-2)2 C (C是积分常数)
==>y=(x-2)3 C(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)3 C(x-2) (C是积分常数) 。
解答
xy’-ylny=0 → dy/dx=(ylny)/x → 分离变量得: dy/(ylny)=dx/x
→ d(lny)/lny=d(lnx) ※之所以得出这一步是因为 d(lny)=dy/y ※
→ 两边积分得: ∫d(lny)/lny = ∫d(lnx)
→ ln|lny|=ln|x| ln|C| ,C是任意不为0的常数(取成ln|C|纯粹是为了最后表达方便)
→ 两边取指数得：lny=Cx
可以验证,当C=0,即 y≡1 时,y=1也是微分方程xy’-ylny=0的一个解
综上所述,微分方程的通解是：lny=Cx 也即 y=e^(Cx) ,C为任意常数.
▲其实一阶常微分方程的初等解法（包括分离变量法）是微分方程理论中最基础也最简单的内容,必须牢牢掌握!如果感觉阅读这一部分内容有困难,请务必复习一下一元微积分的基础知识!

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