今天是3月14日 。 而圆周率π就约等于3.14 ， 因此这一天被设为了圆周率日 。 世界各地的数学家和数学爱好者们欢聚一堂 ， 歌颂赞美这个数学世界中的奇迹 。
大家或许会好奇 ， π究竟哪点吸引人了 ， 能够让数学家们对它痴迷到如此地步？其实 ， π本身的存在就是一个奇迹：不管一个圆有多大 ， 它的周长和直径之比总是一个固定的数 ， 它就是3.141592653589793… ， 是一个无限不循环小数 。 我们把这个数就叫做圆周率 ， 用希腊字母π来表示 。 在几何问题中 ， 圆周率扮演着非常重要的角色；然而更神奇的是 ， 它也驰骋于几何以外的其它数学领域 。
布丰投针实验
在地板上画一系列间距为2厘米的平行线 ， 然后把一根长度为1厘米的针扔在地板上 。 那么 ， 这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢？1733年 ， 法国博物学家布丰（Comte de Buffon）第一次提出了这个问题 。 1777年 ， 布丰自己解决了这个问题——这个概率值是1/π 。
文章插图
这个问题可以用微积分直接求解 ， 也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答 。 即使我们现在已经能轻易求出它的答案 ， 结论依然相当令人吃惊——在这个概率问题上 ， 竟然也有π的踪影 。 有人甚至利用投针法 ， 求出过π的近似值来 。
斯特林近似公式
我们把从1开始一直连乘到n的结果称作“n的阶乘” ， 在数学中用n!来表示 。 也就是说：
文章插图
1733年 ， 数学家亚伯拉罕?棣莫弗（Abraham de Moivre）发现 ， 当n很大的时候 ， 有：
文章插图
其中c是某个固定常数 。 不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值 。 几年后 ， 数学家詹姆斯?斯特林（James Stirling）指出 ， 这个常数c等于2π的平方根 。 也就是说：
文章插图
这个公式就被称作斯特林近似公式 。
伽马函数
文章插图
阶乘运算本来是定义在正整数上的 ， 但我们可以很自然地把它扩展到所有的正数上——只需要寻找一条经过所有形如（n, n!）的整格点的曲线就可以了 。 由此定义出来的函数就叫做伽马函数 ， 用希腊字母Г来表示 。 好了 ， 神奇的事情出现了 。 我们有这样一个结论：
文章插图
π再次出现在了与几何毫无关系的场合中！
平方数的倒数和的极限
1的平方分之一 ， 加上2的平方分之一 ， 加上3的平方分之一 ， 这样一直加下去 ， 结果会怎样呢？这是一个非常吸引人的问题 。
文章插图
从上表中可以看到 ， 越往后加 ， 得数变化幅度就越小 。 可以预料 ， 如果无穷地加下去 ， 得数将会无限接近于某一个固定的数 。 这个数是多少呢？
1735年 ， 大数学家欧拉（Euler）非常漂亮地解决了这一问题 。 神奇的是 ， 这个问题的答案里竟然包含有π：
推荐阅读
- 减肥小技巧bui~
- 日本猫岛：喵星人的生活幸福吗？
- 天气会影响情绪吗？
- 濒危档案：真正的帕丁顿熊什么样？
- 常吃枇杷有什么好处
- 世界末日：10亿年后地球将滴水不剩？
- “癌症之王”哪家强？
- 享受节日美食，当心重病来袭？
- 4G网络，FDD和TDD有哪些不同？
- 如何使桌面上悬挂日历