圆的标准方程的圆系方程 _方程

【圆的标准方程的圆系方程】经过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的公共弦方程为
x2+y2-25-[(x-1)2+(y-1)2-16]=0，即2x+2y-11=0
过直线2x+2y-11=0与圆x2+y2=25的交点的圆系方程为
x2+y2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x2+y2+2λy+2λx-(11λ+25)=0
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4
代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)2+(y-11/4)2=79/8
注：此方程不可表示x2+y2+D2x+E2y+F2这个方程，即当所求方程就是方程x2+y2+D2x+E2y+F2时用x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0无法求到方程。所以使用该方程需要检验方程x2+y2+D2x+E2y+F2=0是否是符合题意。
例：求过方程（x+1）2+（y+1）2=1和（x-3）2+（y-2）2=25两交点且过点（-2,2）的方程。
此时（x-3）2+（y-2）2=25即为所求方程，若用上述设法x2+y2+2x+2y+1+λ（x2+y2-6x-4y-12)=0而不检验，则会无解，实际上漏解了。

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圆的标准方程的圆系方程

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