原题中直接用了等比级数求和公式了,但是原级数的收敛域比那个公式适用范围多了-1,为啥就可以直接用公

【原题中直接用了等比级数求和公式了,但是原级数的收敛域比那个公式适用范围多了-1,为啥就可以直接用公】

原题中直接用了等比级数求和公式了,但是原级数的收敛域比那个公式适用范围多了-1,为啥就可以直接用公

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步骤书写稍繁,等比级数求和时的范围还是(-1,1) 。看下面的书写步骤 。先考虑幂级数∑x^(n+1)/(n+1)=T(x),收敛域是[-1,1) 。逐项求导,T'(x)=∑x^n=1/(1-x),范围是(-1,1) 。积分,T(x)=-ln(1-x),范围是(-1,1) 。然后看x=-1 。T(x)在x=-1连续,x=-1又是收敛点,所以根据幂级数的和函数的性质(和函数在收敛域内连续),所以幂级数∑x^(n+1)/(n+1)在x=-1处收敛于T(-1) 。即T(x)=∑x^(n+1)/(n+1)=-ln(1-x),-1≤x<1 。x≠0时,S(x)=T(x)/x=-ln(1-x)/x 。x=0时,用定义求就是S(0)=a0 。用和函数的性质求S(0),就是S(0)=lim(x→0) S(x) 。

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