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一、名义利率、实际利率、连续复利 当计息周期不是年，如何将其转化为年利率？在普通复利计算以及技术经济分析中，所给定或采用的利率一般都是年利率，即利率的时间单位是年，而且在不特别指明时，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次 。在实际工作中，所给定的利率虽然还是年利率 。由于计息周期可能是比年还短的时间单位，比如计息周期可以是半年、一个季度、一个月、一周或者为一天等等，因此一年内的计息次数就相应为2次、4次、12次、52次、或365次等等 。这样，一年内计算利息的次数不止一次了，在复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息，因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化） 。假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常称为“年利率12%，每月计息一次” 。这个年利率12%称为“名义利率” 。也就是说,名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息周期数的乘积 。若按单利计算，名义利率与实际利率是一致的，但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应比12%略大些 。为12.68% 。例如，本金1000元，年利率为12％，若每年计息一次，一年后本利和为：F＝1000＊（1＋0.12／12）12＝1126.8（元） 实际年利率i为：i=(1126.8-1000)/1000*100%=12.68% 这个12.68%就是实际利率 。在上例中，若按连续复利计算，实际利率为：i=e0.12-1=1.1257-1=12.75% 设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周期的利率应为r／m，求一年后本利和、年利率？ 分析：单利方法：一年后本利和 F=P(1+i期×m) 利息 P×i期×m 年利率： P×i期×m / P = i期×m = r 复利方法：一年后本利和 F=P(1+i期) m 利息 P(1+i期) m - P 年利率：i = [ P(1+i期) m —P]/ P = (1+i期) m -1 所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i = (1+i期) m –1= (1+r/m) m –1 当m＝l时，名义利率等于实际利率； 当m＞1时，实际利率大于名义利率 。当m → ∞时，即按连续复利计算时，i与r的关系为： 名义利率：非有效利率，是指按单利方法计算的年利息与本金之比 。实际利率：有效利率，是指按复利方法计算的年利息与本金之比 。不同计息周期情况下的实际利率的计算比较 计息周期 一年内计息周期数(m) 年名义利率(r)% 期利率(r/m)% 年实际利率(i)% 年 1 12.00 (已知) 12.00 12.000 半年 2 12.00 (已知) 6.00 12.360 季度 4 12.00 (已知) 3.00 12.551 月 12 12.00 (已知) 1.00 12.683 周 52 12.00 (已知) 0.2308 12.736 日 365 12.00 (已知) 0.03288 12.748 连续计息 ∞ 12.00 (已知) → 0 12.750从表中可知，复利计息周期越短，年名义利率与年实际利率差别越大，年实际利率越高 。例3-7：某项工程四年建成，每年初向银行贷款100万元，年名义利率8%，每月计息一次，工程建成后应向银行偿还的本利和是多少 。提示：(P) m =12 r =8% i =(1+r/m)m –1 =(1+8%/12)12 –1=8.3% F =A{[(1+i)n –1]/i}(1+i) =100×[(1.0834-1)/0.083]×1.083 =490.18(万元) 例3-8：某个项目需投资10万元，若每年能回收投资2.4万元，按折现率10%计算，大约多少年能全部收回投资? 提示：(P)?6?1 P =10，A =2.4，i =10% 且 P =A[(1+i)n-1]/[i(1+i)n] Pi(1+i)n =A(1+i)n-A(1+i)n (A-Pi)=A(1+i)n =A/(A-Pi) ∴n =[㏒A-㏒(A-Pi)]/㏒(1+i) =[㏒2.4-㏒(2.4-10×10%)]/㏒(1+10%) =5.7(年) ∴ 大约六年可以全部收回投资 。
【定期复利与连续复利】
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