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需要用到哪四个公式 三角形内切圆半径公式怎么推

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直角三角形的内切圆半径r=ab/(a b 根号(a^2 b^2)) ， 其中a ， b是直角三角形的两条直角边 。你知道这个公式是怎么来的吗？

需要用到哪四个公式 三角形内切圆半径公式怎么推

文章插图
【需要用到哪四个公式 三角形内切圆半径公式怎么推】这里至少关联到四个公式：
第一个是勾股定理的公式 ， 直角三角形的斜边c的平方等于两条直角边a和b的平方和 ， 即c^2=a^2 b^2 ， 从而有c=根号(a^2 b^2) 。
第二个是直角三角形的周长公式 ， 直角三角形的周长C等于三边的和 ， 即C=a b c=a b 根号(a^2 b^2).
第三个是我们常用的直角三角形面积公式 ， 直角三角形的面积S等于两条直角边的积的一半 ， 即S=ab/2 。
第四个公式平时我们用得少 ， 是具有内切圆的多边形的面积公式 ， 因为三角形一定有内切圆 ， 所以直角三角形的面积公式也适且这个公式 。
它就是直角三角形的面积S等于周长C与内切圆半径r的积的一半 ， 即S=Cr/2. 这个公式的证明也是比较有趣的 ， 有兴趣可以自己动手试试看 。
不难发现 ， 第三个公式和第四个公式可以通过等量替换得到ab=Cr ， 因此r=ab/C ， 代入第二个公式 ， 就可以得到直角三角形的内切圆半径公式：r=ab/(a b 根号(a^2 b^2)).
如果要把这个公式死记硬背下来 ， 肯定是很难的 ， 如果能够理解 ， 就有可能把它记下来 ， 而且同时还可以学会并记熟推出这个公式的另外四个公式 。
不要小看这个公式 ， 在中考甚至是高考这样的大考中 ， 一旦可以运用到 ， 就能大大地减少运算量和节省解题的时间 。
另外对于特殊的直角形 ， 两个三角尺三角形 ， 这个公式就可以化成比较简单的形式 ， 比如对于含有30度角的直角三角形 ， 设较短的直角边为a ， 则较长的直角边为a倍根号3 ， 斜边就是2a ， 周长为(3 根号3)a 。
所以内切圆的半径r=a^2根号3/((3 根号3)a)=(根号3-1)a/2 ， 即内切圆半径是较短的直角边的(根号3-1)/2倍 。
而等腰直角三角形的直角边a=b ， 斜边c=a倍根号2 ， 所以周长为(2 根号2)a ， 所以内切圆的半径r=a^2/((2 根号2)a)=(2-根号2)a/2 ， 即内切圆半径是直角边的(2-根号2)/2倍 。
并且我们可以由r=ab/(a b 根号(a^2 b^2))<=(2-根号2)根号(ab)/2 ， 知道当a=b时 ， 半径r=(2-根号2)/2倍最长 ， 即在一条直角边不变时 ， 等腰直角三角形的内切圆半径最长 。

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