年轻的俄罗斯数学家罗巴切夫斯基突发奇想 ， 将古老欧氏平面几何的“平行公理”稍作改变 ， 创立了逻辑上同样完整而严密 ， 但看起来却有些古怪的“非欧几何” 。 最初 ， 人们对此嗤之以鼻 ， 认为这不过是疯子数学家玩的游戏而已 。
不过 ， 那些嘲笑罗巴切夫斯基的人没有料到 ， 几十年之后 ， 非欧几何在爱因斯坦的广义相对论中找到了用武之地 。 它正是广义相对论中描述的一种弯曲空间所遵循的几何！
古老的几何学
几何是一门古老的学科 ， 在公元前由几何大师欧几里德创立 ， 至今两千多年威力不减 。
欧几里德几何是一个漂亮的公理系统 ， 它只需要设定几条简单的、符合直觉、大家公认、不证自明的命题（称为公理或公设） ， 然后从这几条命题出发 ， 推导证明其它命题 ， 继而推导证明更多命题 ， 如此继续下去 ， 一套数学理论便建立起来了 。 这就像是建造高楼大厦 ， “公理”就是水平放在地基第一层的大“砖块” ， 有了牢靠坚实的基础 ， 其它砖块便能够一层一层叠上去 ， 万丈高楼也就能够平地而起 。 基底砖块破缺了 ， 或者置放得不平稳 ， 楼房就可能会倒塌 。
欧几里德平面几何的公理有五条 。 他就从这简单的五条公理出发 ， 推演出了所有的平面几何定理 ， 建造出欧氏几何的宏伟大厦 。
数学逻辑推理创造的奇迹令人吃惊 。 不过 ， 当人们反复思考这几条公理时 ， 觉得前面4条显然都是不言自明的 ， 唯有第五条公理比较复杂 ， 听起来不像一个简单而容易被人接受的直觉概念 。 于是 ， 人们就自然提出疑问：这第五条是公理吗？它是否可以由其它4条公理推导出来？大家的意思就是说 ， 欧氏平面几何的大厦用前面4块“大砖头”可能也就足以支撑了 。 这第五块砖头 ， 恐怕本来就是放置在另外四块砖头之上的 。
欧氏平面几何的第五条公理也称为“平行公理” ， 可表述为：“过直线外的一点 ， 有且仅有一条平行线 。 ”
一位名叫尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky ， 1792 - 1856）的年轻俄罗斯数学家突发奇想：如果将这条公理稍稍改变一下 ， 也就是说 ， 将大厦下面的某块基石稍微移动一下 ， 会产生什么样的后果呢？比如说改成：“过直线外的一点 ， 至少有两条平行线 。 ”
这一改非同小可 ， 几字之差 ， 生出了与欧氏几何完全不同的另一种几何 ， 人们称之为“非欧几何”或“罗氏几何” 。 非欧几何的大厦同样拔地而起、稳固牢靠 ， 逻辑上完整而严密 ， 但看起来却有些古怪 。
罗氏几何体系得到古怪而不合常理的命题是必然的 ， 因为被罗巴切夫斯基改变之后的第五公设 ， 本身就与人们的日常生活经验不相符合 。 过平面上直线外的一点 ， 怎么可能作出多条不同的直线与已知直线不相交呢？由此而建造出来的数学逻辑大厦 ， 当然会是个怪物 。 比如说 ， 罗氏几何导出了如下古怪的命题：同一直线的垂线和斜线不一定相交；不存在矩形 ， 因为四边形不可能四个角都是直角；不存在相似三角形；过不在同一直线上的三点 ， 不一定能作一个圆；一个三角形的三个内角之和小于180度……这种奇怪的“几何大厦” ， 能有什么用处呢？有人嗤之以鼻 ， 心想 ， 不过是疯子数学家玩的游戏而已！
那些嘲笑罗巴切夫斯基的人没有料到 ， 几十年之后 ， 非欧几何在爱因斯坦的广义相对论中找到了用武之地 ， 它正是爱因斯坦广义相对论描述的一种弯曲空间所遵循的几何！
几何上的无穷小
不过 ， 真正与广义相对论弯曲空间有关的是“黎曼几何” ， 它比上面所说的非欧几何更进了一步 ， 属于微分几何 。
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