文章插图
n阶方阵A可逆
<=> A非奇异
<=> |A|≠0
<=> A可表示成初等矩阵的乘积
<=> A等价于n阶单位矩阵
<=> r(A) = n
<=> A的列(行)向量组线性无关
<=> 齐次线性方程组AX=0 仅有零解
【矩阵可逆的充要条件】<=> 非 齐次线性方程组AX=b 有唯一解
<=> 任一n维向量可由A的列(或行)向量组线性表示
<=> A的特征值都不为0
当一个m×n矩阵的全部元素均为0时,就称为零矩阵，记作Om×n 。对于任意一个m×n矩阵A，恒有A+Om×n=A；且恒有惟一的一个m×n矩阵B=(-1)A，使A+B=Om×n，此B称为A的负矩阵，简记为-A 。易知-A的负矩阵就是A，即-(-A)=A 。
数域F上的所有 m×n矩阵按上述矩阵加法和数乘矩阵运算，构成F上的一个m n维向量空间；F上的所有n阶矩阵按矩阵的加法和乘法构成一个环，称为F上的n阶全阵环 。F上的n阶全阵环视为F上的n维向量空间，就构成F上的n阶全阵代数 。
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