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初三数学二次函数。

生活百科初三

【初三数学二次函数。】

初三数学二次函数。

文章插图
一、内容综述：四种常见函数的图象和性质总结图象 特殊点 性质 一 次 函 数与x轴交点与y轴交点（0，b）(1)当k>0时，y随x的增大而增大；(2)当k<0时，y随x的增大而减小. 正 比 例 函 数与x、y轴交点是原点(0,0) 。(1)当k>0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限；(2)当k<0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限 反 比 例 函 数与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近 。(1)当k>0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；(2) 当k<0时，双曲线经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大 。二 次 函 数与x轴交点或，其中是方程的解，与y轴交点，顶点坐标是 (-,) 。(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-, y最小值= 。(2)当 a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-, y最大值=注意事项总结：1．关于点的坐标的求法：方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了 。2．对解析式中常数的认识：一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系 。3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+　k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标） 。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解 。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便 。4．二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同 。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到 。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位 。二、例题分析：例1．已知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上 。分析：P(m, n)是图象上一点，说明P(m, n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m, n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m, n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见 。解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上，∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,∴x12+x22=1,又∵x1+x2=-m, x1x2=n,∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1由解这个方程组得：或 。把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,x2-3x+4=0, Δ<0.∴ m=-3, n=4(舍去).把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,x2+x=0, Δ>0∴点N（2，-1），把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1.∴点N（2，-1）不在图象y=-上 。说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点 。当m=-3, n=4时，Δ

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