绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示 。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离 。绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a眀|≤|a| |b| 。
文章插图
【绝对值不等式公式四个】|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值 。
|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离 。
当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和 。
当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和 。(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离) 。
绝对值重要不等式推导过程：
我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);
因此，有：
-|a|≤a≤|a|......①
-|b|≤b≤|b|......②
-|b|≤-b≤|b|......③
由① ②得：
-(|a| |b|)≤a b≤|a| |b|
即|a b|≤|a| |b|......④
由① ③得：
-(|a| |b|)≤a-b≤|a| |b|
即|a-b|≤|a| |b|......⑤
另：
|a|=|(a b)-b|=|(a-b) b|
|b|=|(b a)-a|=|(b-a) a|
由④知：
|a|=|(a b)-b|≤|a b| |-b|=>|a|-|b|≤|a b|.......⑥
|b|=|(b a)-a|≤|b a| |-a|=>|a|-|b|≥-|a b|.......⑦
|a|=|(a-b) b|≤|a-b| |b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a) a|≤|b-a| |a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥，⑦得：
| |a|-|b| |≤|a b|......⑩
由⑧，⑨得：
| |a|-|b| |≤|a-b|......?
综合④⑤⑩?得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a眀|≤|a| |b|
要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：
|a-b|=|a| |b|→ab≤0
|a|-|b|=|a b|→b(a b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注：|a|-|b|=|a b|→|a|=|a b| |b|→|（a b）-b|=|a b| |b|→b(a b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0 。
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