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等差数列公式都有哪些 等差数列公式

生活百科等差数列


等差数列公式（等差数列公式都有哪些）
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示 。
等差数列基本公式:
【等差数列公式都有哪些 等差数列公式】末项=首项 (项数-1)×公差
项数=(末项-首项)÷公差 1
首项=末项-(项数-1)×公差
和=(首项 末项)×项数÷2
通项公式
等差数列的通项公式为：an=a1 (n-1)d (1)
前n项和公式
前n项和公式为：Sn=na1 n(n-1)d/2或Sn=n(a1 an)/2 (2)
以上n均属于正整数.
推论
1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1 an=a2 an-1=a3 an-2=…=ak an-k 1,k∈{1,2,…,n}
3.若m,n,p,q∈N*,且m n=p q,则有am an=ap aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n 1=(2n 1)an 1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
若m n=2p,则am an=2ap
4.其他推论
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项 （项数-1）×公差
推论3证明
若m,n,p,q∈N*,且m n=p q,则有若m,n,p,q∈N*,且m n=p q,则有am an=ap aq
如am an=a1 (m-1)d a1 (n-1)d
=2a1 (m n-2)d
同理得,
ap aq=2a1 (p q-2)d
又因为
m n=p q ;
a1,d均为常数
所以
若m,n,p,q∈N*,且m n=p q,则有am an=ap aq
注：1.常数列不一定成立
2.m,p,q,n大于等于自然数
等差中项
在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.
且任意两项am,an的关系为：an=am (n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式.

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