开根号乘以十（开方乘10 记考分）
张景中教授做客学者讲坛
一次 ， 笔者与张景中先生感叹：“现在很多大学生平时用功不够 ， 以致考试时分数普遍较低 ， 不及格人数占很大的比例 。这给任课老师带来麻烦 ， 因为不少的大学都有成文或不成文的规定 ， 不及格人数不能超过某个比例 ， 否则该课程考试作废 ， 任课老师除了重新出试卷考试之外 ， 还得写检查反省 。”
张先生表示现在大学教育确实让人担忧 ， 他说：“以前我读书（在北京大学）和教书（在中国科技大学）的时候 ， 也有类似的事情 。不过不是因为学生学得不行 ， 而是由于那时候的老师不出送分题 ， 每一个题目都有一定难度 ， 所以如果平时不用功的话 ， 考试及格是很困难的 。遇到这样的情况 ， 一些老师则会采取开方乘10 的算分方法 ， 减少不及格的人数 。所谓开方乘10 ， 就是将考试分数开方之后再乘10 。不过 ， 大学生们还是不希望老师用开方乘10 这种计分法 ， 因为这说明考开方乘10 记分考试结果已经是惨不忍睹了 。”
学生考试不及格 ， 老师想办法加分 ， 这种做法是对是错 ， 笔者在此不想作什么评论 。不过这种开方乘10 的算分方法 ， 比起那种每人加多少分更有数学味一些 。
如果设原来考试得分为x ， 那么开方乘10 后则为10 √x。容易发现 ， 原来考0 分和考100 的人分数保持不变 ， 可谓是“不动点”；而原本要考60 分才能及格 ， 现在只要考36 分就可以了 。
假设一个人的考试分数是由从0 到100 随机取数的话 ， 那么开方乘10 这种记分方法就将及格的几率从原来的40％提高到64％ 。但这个假设的前提是不成立的 ， 因为现在考试的命题对难度有规定 ， 一般都是要求基础题、中等题、难题的比例为6 ：3 ：1 ， 也就是说大部分分数都是很容易得的 ， 倘若还按照开方乘10 的算法 ， 那么及格的几率远比64％高很多 。一个人若连36 分都得不到 ， 那也确实是无可救药了 。
下面我们进行定量分析 。
如果求函数10 √x ? x的导数的零点 ， 可得到x=25 ， 也就是说原来得25 分的人加分最多 ， 可以加25 分 。但这个加25 分的人却不是最幸运的人 ， 因为加分后仍然没有及格 。幸运的人应该是原来得分在36 至59 之间的 ， 因为开方乘10 使他们从原来的不及格变及格了 ， 而最幸运的应该是得36 分的人 ， 尽管他只加了24 分 。
对0 和100 之间所有的x 的值 ， 我们可以验证10√ x ? x的二阶导数都恒小于0 。也就是说开方乘10 这种记分方法除了两个极端（0 分和100 分）之外 ， 其余的人都加了分 。那么这应该是皆大欢喜啊 ， 但实际操作起来 ， 还得考虑一个因素 ， 就是考试分数都是整数 ， 没有小数 。那么原来得分开方乘10 之后 ， 还得进行一次四舍五入的操作 。举例来说 ， 甲如果考59 分 ， 开方乘10后为76.81 ， 四舍五入后为77 分；乙如果考60 分 ， 开方乘10 后为77.45 ， 四舍五入后也为77 分；那么 ， 一个原来及格了的人竟然和一个原本没有及格的人得一样多的分数 。也许此时乙的心里会感到一些不平衡吧 。
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