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递归算法流程图 递归详解( 二 )

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<= 1) {return 1;}return sum(n - 1)n;} } 「运行结果:」 Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowErrorat recursion.RecursionTest.sum(RecursionTest.java:13) 怎么解决这个栈溢出问题？首先需要「优化一下你的递归」，真的需要递归调用这么多次嘛？如果真的需要，先稍微「调大JVM的栈空间内存」，如果还是不行，那就需要弃用递归，「优化为其他方案」咯~ 重复计算，导致程序效率低下 我们再来看一道经典的青蛙跳阶问题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶 。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法 。绝大多数读者朋友，很容易就想到以下递归代码去解决： class Solution {public int numWays(int n) {if (n == 0){return 1;}if(n <= 2){return n;}return numWays(n-1)numWays(n-2);} } 但是呢，去leetcode提交一下，就有问题啦，超出时间限制了为什么超时了呢？递归耗时在哪里呢？先画出「递归树」看看：要计算原问题 f(10)，就需要先计算出子问题 f(9) 和 f(8) 然后要计算 f(9)，又要先算出子问题 f(8) 和 f(7)，以此类推 。一直到 f(2) 和 f(1），递归树才终止 。我们先来看看这个递归的时间复杂度吧，「递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数」一个子问题时间 = f（n-1） f（n-2），也就是一个加法的操作，所以复杂度是 「O(1)」； 问题个数 = 递归树节点的总数，递归树的总结点 = 2^n-1，所以是复杂度「O(2^n)」 。因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 = O(1) * O(2^n) = O(2^n)，就是指数级别的，爆炸增长的，「如果n比较大的话，超时很正常的了」 。回过头来，你仔细观察这颗递归树，你会发现存在「大量重复计算」，比如f（8）被计算了两次，f（7）被重复计算了3次...所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！ 「那么，怎么解决这个问题呢？」 既然存在大量重复计算，那么我们可以先把计算好的答案存下来，即造一个备忘录，等到下次需要的话，先去「备忘录」查一下，如果有，就直接取就好了，备忘录没有才再计算，那就可以省去重新重复计算的耗时啦！这就是「带备忘录的解法」 我们来看一下「带备忘录的递归解法」吧~ 一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个「备忘录」 。假设f(10)求解加上「备忘录」，我们再来画一下递归树： 「第一步」，f（10）= f(9)f(8)，f(9) 和f（8）都需要计算出来，然后再加到备忘录中，如下：「第二步，」 f(9) = f（8）f（7），f（8）= f（7）f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要计算出来，加到备忘录中~「第三步，」 f(8) = f（7）f(6),发现f(8)，f(7),f（6）全部都在备忘录上了，所以都可以剪掉 。所以呢，用了备忘录递归算法，递归树变成光秃秃的树干咯，如下：带「备忘录」的递归算法，子问题个数=树节点数=n，解决一个子问题还是O(1),所以「带「备忘录」的递归算法的时间复杂度是O(n)」 。接下来呢，我们用带「备忘录」的递归算法去撸代码，解决这个青蛙跳阶问题的超时问题咯~，代码如下： public class Solution {//使用哈希map，充当备忘录的作用Map

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